Disusun Oleh:
Achmad Basori Alawi ( 20151112038)
Annisah Dian Oktaviana ( 20151112026 )
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SURABAYA
FAKULTAS KEGURUAN ILMU PENDIDIKAN
STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
TAHUN 2017
KATA PENGANTAR
Dengan menyebut nama Allah SWT yang maha pengasih lagi maha penyayang, kami panjatkan puja dan puji syukur atas kehadirat-nya, yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah, inayah-nya kepada kami, sehingga kami dapat menyelesaikan makalah ini dengan tema “ POLA BILANGAN, BARISAN DAN DERET ”
Sebagai bahan penulisan, kami mengambil bahan berdasarkan sumber yang ada seperti informasi dari internet dan buku. Dalam penulisan makalah ini ada kendala yang kami temui namun Alhamdulillah penulis bisa menyelesaikan makalah ini tepat waktu.
Namun tidak lepas dari semua itu, kami menyadari sepenuhnya bahwa ada kekurangan baik dari segi penyusun bahasanya maupun segi lainnya, sehingga dapat mempelancar pembuatan modul ini. Untuk itu kami tidak lupa menyampaikan banyak terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu kami dalam pembuatan modul ini.
Kami menyadari bahwa dalam menyusun modul ini masih jauh dari sempurna. Untuk itu penulis sangat mengharapkan kritik dan saran yang sifatnya membangun guna sempurnanya modul ini. Akhir kata, Semoga Allah SWT senantiasa meridhai segala usaha kita. Amiin
Surabaya, 17 Nopember 2017
Penulis
BAB I
PEMBAHASAN
Pola Bilangan
Pola bilangan sendiri memiliki arti suatu susunan bilangan yang memiliki bentuk teratur atau suatu bilangan yang tersusun dari beberapa bilangan lain yang membentuk suatu pola ( Wilson, 2007 ).
Macam – macam Pola Bilangan
Macam – macam pola bilangan meliputi beberapa jenis berikut ini :
Pola Bilangan Ganjil
Pola bilangan ganjil yaitu pola bilangan yang terbentuk dari bilangan – bilangan ganjil . Sedangkan pengertian dari bilangan ganjil sendiri memiliki arti suatu bilangan asli yang tidak habis dibagi dua ataupun kelipatannya ( Sartono, 2004 ).
Pola bilangan ganjil memiliki pola 1,3,5,7,9 ….
Barisan bilangan ganjil adalah 1,3,5,7,9,…
Deret bilangan ganjil adalah 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ….
Gambar Pola bilangan ganjil :
Rumus Pola Bilangan ganjil
1 ,3 ,5 ,7 ,...,n , maka rumus pola bilangan ganjil ke n adalah :
Un = 2n – 1
Contoh :
1 ,3 ,5 ,7 ,...,ke 10
Berapakah pola bilangan ganjil ke 10 ?
Jawab :
U_n = 2n – 1
U_10 = 2 .10 – 1
= 20 – 1 = 19
Pola Bilangan Genap
Pola bilangan genap yaitu pola bilangan yang terbentuk dari bilangan – bilangan genap. Bilangan genap yaitu bilangan asli yaitu bilangan asli yang habis dibagi dua atau kelipatannya ( Sartono, 2004 ).
Pola bilangan genap adalah : 2 ,4 ,6 ,8 ,...
Gambar pola bilangan genap :
Rumus Pola bilangan genap
2 ,4 ,6 ,8 ,....,n maka rumus pola bilangan genap ke n adalah : U_n = 2n
Contoh :
2 ,4 ,6 ,8 ,...ke 10 .berapakah pola bilangan genap ke 10 ?
jawab :
U_n = 2n
U_10 = 2 x 10
= 20
Pola bilangan Persegi
Pola bilangan persegi , yaitu suatu barisan bilangan yang membentuk suatu pola persegi ( Suwah dkk, 2008 ).
Pola bilangan persegi adalah 1 ,4 ,9 ,16 ,25 , ...
Gambar Pola bilangan persegi :
Rumus Pola bilangan persegi
1 ,4 ,9 ,16 ,25 ,36 ,...,n maka rumus untuk mencari pola bilangan persegi ke n adalah :
U_n = n2
Contoh :
Dari suatu barisan bilangan 1 ,2 ,9 ,16 ,25 ,36 ,...,ke 10 . Berapakah pola bilangan ke 10 dalam pola bilangan persegi ?
Jawab :
U_n = n2
U_10 = 102 = 100
4. Pola Bilangan Persegi Panjang
Pola bilangan persegi panjang yaitu suatu barisan bilangan yang membentuk pola persegi panjang ( Sartono, 2004 ).
Pola persegi panjang adalah 2 ,6 ,12 ,20 ,30 ,...
Gambar Pola Bilangan persegi panjang :
Rumus pola bilangan persegi panjang
2 ,6 ,12 ,20 ,30 ,... n , maka Rumus Pola bilangan Persegi panjang ke n adalah :
U_n = n . n + 1
Contoh :
Dari suatu barisan bilangan 2 ,6 ,12 ,20 ,30 ,...,ke 10 . Berapakah pola bilangan persegi ke 10 ?
Jawab :
U_n = n .n+ 1
U_10 = 10 .10 + 1
= 10 .11
= 110
5. Pola Bilangan Segitiga
Pola bilangan segitiga yaitu suatu barisan bilangan yang membentuk sebuah pola bilangan segitiga ( Wilson, 2007 ).
Pola bilangan segitiga adalah : 1 ,3 ,6 ,10 ,15 ,...
Gambar Pola bilangan segitiga :
Rumus Pola Bilangan Segitiga :
1 ,3 ,6 ,10 ,15 ,21 ,28 ,36 ,...,ke n . Maka rumus pola bilangan segitiga ke n adalah: U_n = (1 )/2 n ( n + 1 )
Contoh Soal :
Dari suatu barisan bilangan 1 ,3 ,6 ,10 ,15 ,21 ,28 ,36 ,...,ke 10 . Berapakah pola bilangan segitiga ke 10 ?
Jawab :
U_n = (1 )/2 n ( n + 1 )
U_10= (1 )/2 .10 ( 10 + 1 )
= 5 ( 11 ) = 55
Barisan Bilangan
Barisan bilangan adalah susunan bilangan – bilangan yang memiliki aturan tertentu dan di pisahkan dengan koma ( Suwah dkk, 2008 ).
Contoh soal :
3,5,7,9,11,.... → Barisan bilangan loncat 2
11,8,5,2,-1,... → Barisan bilangan loncat -3
Tentukan tiga suku pertama pada barisan yang suku umumnya di rumuskan dengan U_n=2n+9 !
Jawab : U_n=2n+9
U_1=2.1+9=11
U_2=2.2+9=13
U_3=2.3+9=15
Bentuk umum :
Deret Bilangan
Jumlah suku-suku dari suatu barisan di sebut deret ( Wilson, 2007 ). Bentuk umumnya adalah sebagai berikut :
Contoh :
Deret bilangan genap : 2 + 4 + 6 + 8 + ....
Deret bilangan persegi panjang : 2 + 6 + 12 + 20 +....
Deret bilangan kubik : 1^3+2^3+3^3+4^3+....
Barisan Aritmatika dan Deret Aritmatika
Barisan Aritmatika
Perhatikan penggaris ukuran 30 cm. Pada penggaris tersebut terdapat bilangan berurutan 0,1,2,3,4,...,30. Setiap bilangan berurutan pada penggaris ini mempunyai jarak yang sama yaitu 1 cm. Jarak antar bilangan berurutan menunjukan selisih antar bilangan. Bilangan – bilangan berurutan seperti pada penggaris memiliki selisih yang sama untuk setiap dua suku berurutannya sehingga membentuk suatu barisan bilangan. Barisan bilangan seperti ini di sebut barisan aritmatika dengan selisih setiap dua suku berurutannya yang disebut beda ( Ngapiningsih, 2007 ).
Bentuk umum :
Pada barisan aritmatika berlaku :
Sehingga
Contoh :
Tentukan beda dari suku-suku di bawah ini :
4,7,10,13,...
-10,-6,-2,2,....
Jawab :
Beda = 7 – 4 = 3
Beda = -6 – (-10) = 4
Rumus Suku ke-n Barisan Aritmatika
Suku ke-n Barisan Aritmatika adalah :
Keterangan :
U_n = Suku ke – n
a = Suku pertama
b = Beda
n = Banyaknya suku
Contoh : Tentukan suku pertama, beda, dan suku ke-10 dari barisan 4, 7, 10, 13, ... ?
Jawab : a = 4
b = 7 – 4 = 3
U_n= a+(n-1)b
U_10= 4+(10-1)3
U_10= 31
Suku Tengah Barisan Aritmatika ( Uk )
Barisan U_1 ,U_2 ,U_3 ,… ,U_n untuk n ganjil
Maka dapat di rumuskan sebagai berikut :
Contoh :
Di ketahui barisan aritmatika 3,9,15,21,....,117. Tentukan suku tengahnya ?
Jawab : U_k= (U_n+a)/2
. U_k= (117 +3)/2 = 60
Sisipan pada Barisan Aritmatika
Jika di antara 2 bilangan a dan Un di sisipkan bilangan a, ..., ..., ..., Un
k bilangan
Maka setelah di sisipi k bilangan, banyaknya suku pada barisan ada ( k + 2 ) = n
Pada barisan baru berlaku : U_n= a+(n-1)b
Un = a + ( k + 2 – 1 )b
Un = a + ( k + 1 )b
Contoh :
Di antara bilangan 6 dan 24 di sisipkan 8 bilangan sehingga membentuk barisan aritmatika. Tentukan bedanya ?
Jawab : a = 6
Un = 24
k = 8
b = (Un - a)/(k+1) = (24 - 6)/(8+1)= 18/9=2
Deret Aritmatika
Deret Aritmatika adalah bentuk penjumlahaan barisan aritmatika. Jika U1, U2, U3, …,Un adalah barisan aitmatika, maka U1 + U2 + U3 + …,Un merupakan deret aritmatika. Jumlah n suku pertama disimbolkan dengan Sn. ( Suwah dkk, 2008 ).
Sn = U1 + U2 + U3 + …,Un
Rumus jumlah n suku pertama adalah :
Contoh :
Di ketahui deret aritmatika 4 + 8 + 12 + 16 + ...
Hitung jumlah 25 suku pertama ?
Jawab : Sn = 1/2 n [( 2a+( n-1 )b]
S25 = 1/2 25 [( 24+( 25-1 )4]
S25 = 1300
Barisan Geometri Dan Deret Geometri
Barisan Geometri
Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1, U2, U3, U4, …, Un-1, Un
Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan geometri, jika nilai perbandingan untuk setiap suku ke – n ( Un ) dengan suku sebelumnya ( Un-1) adalah tetap. Nilai perbandingan itu disebut rasio ( Sartono, 2004 ). ( r ), ditulis : r = U_n/U_(n-1)
Dimana r ≠ 0 atau r ≠ 1, Misalkan suku pertama sama dengan a, rasio sama dengan r, maka : U1, U2, U3, ..., Un
a, ar, ar2 , … ,arn – 1
Dengan demikian, rumus suku ke – n barisan geometri adalah :
Rumus Suku Tengah Barisan Geometri
Suatu barisan geometri dengan n suku, n bilangan ganjil, maka suku tengah ( Uk ) dinyatakan sebagai berikut :
Contoh : Di ketahui Barisan Geometri 2, 8, 32, ..., 8192. Tentukan suku tengahnya?
Jawab : a = 2
Un = 8192
Uk = √(U_1×U_n )
Uk = √(2×8192)=128
Sisipan pada Barisan Geometri
Pada barisan geometri a, ..., ..., ..., Un, disisipkan k suku.
K suku
Pada barisan geometri baru banyaknya suku adalah ( k + 2 )
Jadi, Un = arn-1 → Un = ar(k+2-1)
→ Un = ark+1
→ r = √(x+1&U_n/a)
Di antara bilangan 1/4 dan 64 disisipkan 7 bilangan, sehingga menjadi barisan geometri.Tentukan rasio?
Jawab : r = √(x+1&U_n/a)
r = √(7+1&64/(1/4))
r = √(8&64 ×4)
r = √(8&256) = 2
Deret Geometri
Deret geometri adalah bentuk penjumlahan suku – suku barisan geometri. Jika U1, U2, U3, U4, …, Un-1, Un adalah barisan geometri, maka U1 + U2 + U3 + …,Un merupakan deret geometri. Jumlah n suku pertama disimbolkan dengan (Sn) ( Ngapiningsih, 2007 ).
Sn = U1 + U2 + …, Un-1 + Un
Rumus jumlah n suku pertama adalah :
Contoh :
Tentukan jumlah deret geometri berikut : 2 + (-10) + 50 + ... + (-6250)?
Jawab :
Deret Geometri Tak Hingga
Jika suatu deret geometri, Sn = U1 + U2 + …, Un-1 + Un dengan n mendekati takhingga, maka deret geometri tersebut dikatakan sebagai deret geometri tak hingga dan di tulis dengan : S∞ = U1 + U2 + …, Un-1 + …
Jika
Jika
Sehingga, rumus jumlah deret geometri tak hingga untuk
DAFTAR PUSTAKA
Ngapiningsih. 2007. Matematika Realistik Kelas IX untuk SMP dan MTs. Klaten: Intan Pariwira
Wilson Simangunsong. 2007. Matematika untuk SMP kelas IX. Jakarta : Erlangga
Sartono Wirodikromo. 2004. Matematika SMA kelas XII IPA. Jakarta: Erlangga
Suwah Sembiring. Cucun Cunayah. Ahmad Zaelani.2008. Pelajaran Matematika
Written by blog basori alawi
We are Creative Blogger Theme Wavers which provides user friendly, effective and easy to use themes. Each support has free and providing HD support screen casting.
0 comments:
Post a Comment