APLIKASI PEWARNAAN TITIK PADA GRAPH

Aplikasi pewarnaan titik pada graph

Pewarnaan titik pada graph dapat diaplikasi keberbagai bidang, diantaranya :

1.      Penjadwalan ujian.

Persoalan yang mempunyai karakteristik seperti pewarnaan graph adalah persoalan menentukan jadwal ujian. Misalkan terdapat delapan orang mahasiswa (1,  2,  3,  . . ., 8) dan lima mata kuliah yang dipilihnya        (A,  B,  C,  D,  E). Tabel  berikut memperlihatkan matriks lima mata kuliah dan delapan orang mahasiswa. Angka 1 pada elemen (i,j) berarti mahasiswa i memilih mata kuliah j, sedangkan angka 0 menyatakan mahasiswa i tidak memilih mata kuliah j.

Berdasarkan tabel tadi, administatur mata kuliah  ingin menentukan jadwal ujian sedemikian sehingga semua mahasiswa dapat mengikuti ujian mata kuliah yang diambilnya tanpa bertabrakan waktunya dengan jadwal ujian kuliah lain yang juga diambilnya. Pendek kata, jika ada mahasiswa yang mengambil dua buah mata kuliah atau lebih, jadwal ujian mata kuliah tersebut harus pada waktu yang tidak bersamaan. Ujian dua mata kuliah dapat dijadwalkan pada waktu yang sama jika tidak ada mahasiswa yang sama yang mengikuti ujian dua mata kuliah itu. Berapa paling sedikit jumlah hari yang dibutuhkan untuk jadwal ujian tersebut?

Penyelesaian :

Penyelesaian persoalan menentukan jadwal ujian semua mata kuliah sama dengan menentukan bilangan kromatik suatu graph. Kita dapat menggambarkan graph yang menyatakan penjadwalan ujian, dengan titik – titik pada graph menyatakan mata kuliah sedangkan sisi yang menghubungkan dua titik pada graph menyatakan ada mahasiswa yang memilih kedua mata kuliah itu.

Persoalan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk graph seperti di bawah ini :

Bilangan kromatik dari graph di atas adalah 2. Jadi jumlah hari yang paling sedikit  dibutuhkan untuk jadwal ujian lima mata kulaih untuk delapan orang mahasiswa tersebut adalah 2 hari.

2.      Penempatan bahan – bahan kimia secara efisien

Ada enam jenis zat kimia yang perlu di simpan di dalam gudang. Beberapa pasang dari zat itu tidak dapat disimpan di dalam ruangan yang sama, karena campuran gasnya bersifat eksplosif (mudah meledak). Utnuk zat yang semacam itu perlu dibangun ruang – ruang yang terpisah yang dilengkapi ventilasi dan penyedot udara keluar yang berlainan. Jika lebih banyak ruangan yang dibutuhkan, berarti lebih banyak ongkos yang harus dikeluarkan karena itu perlu diketahui berapa banyak minimum ruangan yang diperlukan untuk dapat menyimpan semua zat kimia dengan aman. Berikut ini adalah daftar pasangan zat kimia yang tidak dapat disimpan di dalam ruangan yang sama. 

Penyelesaian :

Graph dari tabel di atas adalah:

Keterangan :

Titik menyatakan zat kimia dan sisi yang menghubungkan dua zat kimia yang tidak boleh terletak dalam satu ruangan.

Bilangan kromatik dari graph di atas adalah 3, berarti dibutuhkan banyak ruangan minimum untuk menyimpan enam zat kimia pada soal di atas adalah sebanyak 3 ruangan. 

By: blog basori alawi On December 17, 2018

Continue Reading

Menggunakan Algoritma Untuk Menentukan Jalur Terpendek 

dalam menyelesaikan Suatu Permasalahan

I.      I.  Pendahuluan

         Pada awal diciptakan, komputer hanya di fungsikan sebagai alat hitung saja. Namun seiring dengan perkembangan jaman, maka peran komputer semakin mendominasi kehidupan. Lebih dari itu, komputer diharapkan dapat digunakan untuk mengerjakan segala sesuatu yang bisa dikerjakan oleh manusia baik dalam bidang pendidikan, kesehatan, industri, dan kehidupan sehari-hari sehingga peran komputer dan manusia akan saling melengkapi. Beberapa hal yang menjadi kekurangan manusia diharapkan dapat digantikan oleh komputer. Begitu juga dengan komputer yang tak akan berguna tanpa sentuhan manusia.Untuk menggunakan atau memfungsikan sebuah komputer maka harus terdapat program yang terdistribusi di dalamnya, tanpa program tersebut komputer  hanyalah menjadi sebuah kotak yang tak berguna. Program yang terdapat pada komputer sangat bervariasi dan setiap program tersebut pasti menggunakan algoritma.

Pencarian jalur terpendek merupakan suatu  masalah yang paling banyak dibahas dan dipelajari  sejak akhir tahun 1950. Pencarian jalur terpendek ini telah diterapkan di berbagai bidang untuk mengoptimasi kinerja suatu sistem, baik untuk meminimalkan biaya atau mempercepat jalannya suatu proses. Salah satu aplikasi pencarian jalur terpendek yang paling menarik untuk dibahas adalah  pada masalah transportasi.

Algoritma greedy merupakan jenis algoritma yang menggunakan pendekatan penyelesaian masalah dengan mencari nilai maksimum sementara pada setiap langkahnya. Nilai maksimum sementara ini dikenal dengan istilah local maximum. Pada kebanyakan kasus, algoritma greedy tidak akan menghasilkan solusi paling optimal, Sebagai contoh dari penyelesaian masalah dengan algoritma greedy, mari kita lihat sebuah masalah klasik yang sering dijumpai dalam kehidupan sehari-hari: mencari jarak terpendek dari peta. Misalkan kita ingin bergerak dari titik A ke titik B, dan kita telah menemukan beberapa jalur dari peta

II. Dasar Teori

A.      

   A.  Teori Graf

a.    Definisi Graf

     Graf adalah struktur diskrit yang terdiri dari simpul dan  busur, yang mengubungkan simpul-simpul tersebut. Notasinya adalah G=(V,E), dengan keterangan V adalah himpunan yang tidak kosong dari simpul-simpul. V={vi,v2,v3, ,,, ,Vn}, sedangkan E adalah himpunan sisi-sisi yang menghubungan sepasang simpul. E={e1,e2,e3, ,,, ,en}.

Secara geometri, graf digambarkan sebagai kumpulan noktah (simpul) di dalam bidang dwimatra yang dihubungkan dengan sekumpulan garis (sisi)

 

                 Gambar1. Graf Sederhana
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika Diskrit

                   Gambar2. Graf ganda
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika Diskrit

                  Gambar3. Graf semu
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika Diskrit

  

b.       b. Terminologi Dasar

terminologi dasar graf yang digunakan:

1. Bertetangga (Adjacent)

Suatu simpul dikatakan bertetangga dengan simpul lainnya jika keduanya terhubung secara langsung oleh suatu sisi.

2. Bersisian (Incident)

Suatu sisi disebut bersisian dengan simpul tertentu apabila sisi tersebut terbentuk dari simpul tersebut.

3. Derajat (Degree

Derajat suatu simpul graf (takberarah) adalah jumlah sisi yang bersisian dengan simpul tersebut. Pada graf berarah, derajat simpul dihitung dari derajat-masuk (jumlah busur yang masuk ke simpul v) dan derajat-keluar (jumlah busur yang keluar dari simpul v).

4. Lintasan (Path)

Lintasan yang panjangnya n dari simpul awal v0 ke simpul tujuan vn di dalam graf G ialah barisan berselang-seling simpulsimpul dan sisi-sisi yang berbentuk v0, e1, v1,e2, … ,vn-1,en, vn. sedemikian sehingga e1 = (v0, v1), e2 = (v1, v2) adalah sisi-sisi dari G.

5. Sirkuit (Circuit)

Sirkuit pada graf adalah lintasan yang memilki titik awal dan titik akhir pada simpul yang sama.

   B.   Algoritma Greedy

Adalah algoritma yang memecahkan masalah langkah demi langkah dan merupakan salah satu metode dalam masalah optimasi. Prinsip dari algoritma greedy adalah “take what you can get now” yaitu mengambil pilihan yang terbaik yang dapat diperoleh pada saat itu tanpa memperhatikan konsekuensi kedepan. 

Algoritma greedy membentuk solusi langkah per langkah sebagai berikut:

1. Terdapat banyak pilihan yang perlu diekspolarasi pada setiap langkah solusi. Oleh karena itu, pada setiap langkah harus dibuat keputusan yang terbaik dalam menentukan pilhan. Keputusan yang telah diambil pada suatu langkah tidak dapat diubah lagi pada langkah selanjutnya.

2. Pendekatan yang digunakan di dalam algoritma greedy adalah membuat pilihan yang terlihat memberikan perolehan terbaik, yaitu dengan  membuat pilihan optimum lokal pada setiap langkah dan diharapkan akan mendapatkan solusi optimum global.

Algoritma greedy didasarkan pada pemindahan edge per edge dan pada setiap langkah yang diambil tidak memikirkan konsekuensi ke depan, greedy tidak beroperasi secara menyeluruh terhadap semua alternatif solusi yang ada serta sebagian masalah greedy tidak selalu berhasil memberikan solusi yang benar- benar oprimum tapi pasti memberikan solusi yang mendekati nilai optimum.

Algoritma greedy disusun oleh elemen-elemen sebagai berikut :

1.Himpunan Kandidat

   Himpunan ini berisi elemen-elemen yang memiliki peluang pembentuk solusi.

2.Himpunan Solusi

  Himpunan ini berisi kandidat-kandidat yang terpilih sebagai solusi persoalan. Elemennya terdiri dari elemen dalam himpunan kandidat, namun tidak semuanya dengan kata lain himpunan solusi ini adalah bagian dari himpunan kandidat.

3.Fungsi seleksi

   Fungsi yang pada setiap langkah memilih kandidat yang paling mungkin untuk menghasilkan solusi optimal.

Kandidat yang sudah dipilih pada suatu langkah tidak pernah dipertimbangkan lagi pada langkah  selanjutnya.

4.Fungsi kelayakan

  Fungsi yang memeriksa apakah suatu kandidat yang telah dipilih (diseleksi) dapat memberikan solusi yang layak.

5.Fungsi obyektif

  Fungsi yang memaksimumkan atau meminimumkan nilai solusi. Tujuannya adalah memilih satu saja solusi terbaik dari masing-masing anggota himpunan solusi.

III. Penerapan Algoritma Greedy Untuk Menentukan

      A. Lintasan Terpendek

Proses pencarian jalur terpendek akan penulis jelaskan pada gambar-gambar dan table-tabel di bawah ini.

Gambar4. Peta lintasan

Dari peta yang ditampilkan di atas, dapat dilihat bahwa terdapat beberapa jalur dari titik A ke titik B. Sistem peta pada gambar secara otomatis telah memilih jalur terpendek (berwarna biru). Penulis akan mencoba mencari jalur terpendek juga, dengan menggunakan algoritma greedy.

Dari gambar di atas, kita dapat melihat bagaimana sebuah peta jalur perjalanan dapat direpresentasikan dengan menggunakan graph, spesifiknya Directed Graph (graph berarah). Maka dari itu, untuk menyelesaikan permasalahan jarak terpendek ini kita akan menggunakan struktur data graph untuk merepresentasikan peta. Berikut adalah graph yang akan digunakan:

   

Langkah pertama yang harus kita lakukan tentunya adalah memilih struktur data yang tepat untuk digunakan dalam merepresentasikan peta. Jika dilihat kembali, sebuah peta seperti pada gambar di atas pada dasarnya hanya menunjukkan titik-titik yang saling berhubungan, dengan jarak tertentu pada masing-masing titik tersebut. Misalnya, peta di atas dapat direpresentasikan dengan titik-titik penghubung seperti berikut:

Gambar6. Graf Berarah dari titik A ke titik B

Untuk mencari jarak terpendek dari A ke B, sebuah algoritma greedy akan menjalankan langkah-langkah seperti berikut:

1.     Kunjungi satu titik pada graph, dan ambil seluruh titik yang dapat dikunjungi dari titik sekarang.

2.     Cari local maximum ke titik selanjutnya.

3.     Tandai graph sekarang sebagai graph yang telah dikunjungi, dan pindah ke local maximum yang          telah ditentukan.

4.     Kembali ke langkah 1 sampai titik tujuan didapatkan.

  Jika mengaplikasikan langkah-langkah di atas pada graph A ke B sebelumnya maka kita akan              mendapatkan pergerakan seperti berikut:

1.       Mulai dari titik awal (A). Ambil seluruh titik yang dapat dikunjungi.

·         Local maximum adalah ke C, karena jarak ke C adalah yang paling dekat. Tandai A sebagai titik yang telah dikunjungi, dan pindah ke C. Ambil seluruh titik yang dapat dikunjungi dari C.

   

  

Dengan menggunakan algoritma greedy pada graph di atas, hasil akhir yang akan didapatkan sebagai jarak terpendek adalah A-C-D-I-B. Hasi jarak terpendek yang didapatkan ini tidak tepat dengan jarak terpendek yang di sarankan oleh aplikasi google maps yaitu  (A-G-E-F-B).Walaupun jika di lihat dari jarak jika kita mengikuti lintasan berdasarkan penerapan algoritma greedy maka jaraknya lebih dekat yaitu 10.5km, sedangkan yang di sarankan oleh aplikasi google masps yaitu 11.7km. walaupun banyak pertimbangan untuk menentukan rute lintasan tersebut, salah satunya tingkat kemacetan di jalan raya, Algoritma greedy memang tidak selamanya memberikan solusi yang optimal, dikarenakan pencarian local maximum pada setiap langkahnya, tanpa memperhatikan solusi secara keseluruhan. Gambar berikut memperlihatkan bagaimana algoritma greedy dapat memberikan solusi.

IV.   Kesimpulan

        Penggunaan algoritma greedy dapat diterapkan dalam berbagai hal dalam kehidupan terutama yang berhubungan dalam penerapan mencari lintasan terpendek dengan hasil optimum .walaupun masih bias menggunakan kombinasi dengan algoritma atau metode lainnya untuk mendapatkan hasil yang lebih optimal tentunya.

By: blog basori alawi On November 21, 2018

Continue Reading

UAS APLIKOM MULTIMEDIA
Oleh : Achmad Basori Alawi
Nim  : 20151112038

By: blog basori alawi On July 06, 2018

Continue Reading

BELAJAR EDIT VIDEO CAMTASIA STUDIO
Nama : Achmad Basori Alawi
Nim   : 20151112038

By: blog basori alawi On July 06, 2018

Continue Reading

Membuat Daftar Pustaka dengan Mudah Menggunakan Aplikasi Mendeley

Untuk dapat membuat daftar pustaka dengan mudah menggunakan aplikasi Mendeley, Anda diharuskan terlebih dahulu membuat perpustakaan referensi di Mendeley Desktop. Berikut adalah langkah-langkah dalam membuat daftar pustaka dengan mudah menggunakan aplikasi Mendeley:

1. Pastikan Artikel yang Ingin Direferensi Sudah Ada di Mendeley Desktop
   Dalam tutorial ini, saya akan menggunakan tiga referensi yang sudah ada di Mendeley Desktop saya, yaitu: Dynamic Difficulty Adjustment in Tower Defence, FactRunner: A New System for NLP-Based Information Extraction from Wikipedia, dan Worldwide Smartphone Forecast, 2017–2021
   
2. Pastikan Microsoft Word Sudah Terinstall “MS Word Plugin” dari Mendeley Desktop
   Jika tulisan-nya masih “Install MS Word Plugin”, berarti Anda belum menginstall-nya. Klik tombol tersebut untuk meng-install.
   Jika Anda membuat Microsoft Word pada saat proses instalasi, akan keluar jendela peringatan. Anda diharuskan untuk menyimpan pekerjaan Anda di Microsoft Word dan menutup Microsoft Word.
   
   Setelah installasi berhasil, Akan terlihat jendela berhasil. Selain itu, tulisan “Install MS Word Plugin” akan berubah menjadi “Uninstall MS Word Plugin”.
   
   Pada Microsoft Word, dibagian references, akan terlihat menu “Mendeley Cite-O-Matic”.
   
3. Siapkan Tulisan Anda dan Bagian yang Ingin Direferensi
   
4. Referensi Artikel Pada Mendeley Desktop ke Microsoft Word
   Arahkan cursor mouse Anda ke bagian penulisan yang telah dipilih pada Microsoft Word. Lalu, klik tombol “references” pada menu.
   
   Klik tombol “Insert Citation” dan cari nama artikel yang ingin direferensi. Jika data yang ditampilkan sudah benar, klik “OK”
   Referensi akan secara otomatis muncul berdasarkan dengan “Style” referensi yang dipilih.
   
   Lakukan hal tersebut untuk kedua atau lebih artikel lain-nya yang Anda ingin referensi.
   
5. Memasukan Daftar Pustaka Secara Otomatis dengan Mendeley Desktop
   Arahkan cursor mouse ke tempat Anda ingin menaruh daftar pustaka. Lalu klik “Insert Bibliography”. Setelah itu, Daftar Pustaka akan terbuat secara otomatis oleh Mendeley Desktop.
   

Anda dapat memasukkan referensi-referensi lain-nya, dan list tersebut akan terupdate secara otomatis. Tetapi hanya artikel yang direferensi yang akan masuk ke dalam daftar pustaka (bukan semua artikel yang ada di Mendeley).

Selamat! Anda berhasil mengetahui cara untuk membuat daftar pustaka dengan mudah menggunakan aplikasi Mendeley? Tidak terlalu sulit bukan?!

---

By: blog basori alawi On April 23, 2018

Continue Reading

MAKALAH POLA BILANGAN, BARISAN DAN DERET

POLA BILANGAN, BARISAN DAN DERET



Disusun Oleh:
Achmad Basori Alawi      ( 20151112038)
Annisah Dian Oktaviana  ( 20151112026 )





UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SURABAYA
FAKULTAS KEGURUAN ILMU PENDIDIKAN
 STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
TAHUN 2017
 
KATA PENGANTAR
Dengan menyebut nama Allah SWT yang maha pengasih lagi maha penyayang, kami panjatkan puja dan puji syukur atas kehadirat-nya, yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah, inayah-nya kepada kami, sehingga kami dapat menyelesaikan makalah ini dengan tema “ POLA BILANGAN, BARISAN DAN DERET ”
Sebagai bahan penulisan, kami mengambil bahan berdasarkan sumber yang ada seperti informasi dari internet dan buku.  Dalam penulisan makalah ini ada kendala yang kami temui namun Alhamdulillah penulis bisa menyelesaikan makalah ini tepat waktu.
Namun tidak lepas dari semua itu, kami menyadari sepenuhnya bahwa ada kekurangan baik dari segi penyusun bahasanya maupun segi lainnya, sehingga dapat mempelancar pembuatan modul ini. Untuk itu kami tidak lupa menyampaikan banyak terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu kami dalam pembuatan modul ini.
Kami menyadari bahwa dalam menyusun modul ini masih jauh dari sempurna. Untuk itu penulis sangat mengharapkan kritik dan saran yang sifatnya membangun guna sempurnanya modul ini. Akhir kata, Semoga Allah SWT senantiasa meridhai segala usaha kita. Amiin


  Surabaya, 17 Nopember 2017
       Penulis
                           
 
BAB I
PEMBAHASAN
Pola Bilangan
Pola bilangan sendiri memiliki arti suatu susunan bilangan yang memiliki bentuk teratur atau suatu bilangan yang tersusun dari beberapa bilangan lain yang membentuk suatu pola ( Wilson, 2007 ).
Macam – macam Pola Bilangan
Macam – macam pola bilangan meliputi beberapa jenis berikut ini :
Pola Bilangan Ganjil
Pola bilangan ganjil yaitu pola bilangan yang terbentuk dari bilangan – bilangan ganjil . Sedangkan pengertian dari bilangan ganjil sendiri memiliki arti suatu bilangan asli yang tidak habis dibagi dua ataupun kelipatannya ( Sartono, 2004 ).
Pola bilangan ganjil memiliki pola 1,3,5,7,9 ….
Barisan bilangan ganjil adalah 1,3,5,7,9,…
Deret bilangan ganjil adalah 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ….
Gambar Pola bilangan ganjil :

Rumus Pola Bilangan ganjil
1 ,3 ,5 ,7 ,...,n , maka rumus pola bilangan ganjil ke n adalah :
Un = 2n – 1
Contoh :
1 ,3 ,5 ,7 ,...,ke 10
Berapakah pola bilangan ganjil ke 10 ?
Jawab :
U_n  = 2n – 1
U_10  = 2 .10 – 1
        = 20 – 1   = 19
 
Pola Bilangan Genap
Pola bilangan genap yaitu pola bilangan yang terbentuk dari bilangan – bilangan genap.  Bilangan genap yaitu bilangan asli yaitu bilangan asli yang habis dibagi dua atau kelipatannya ( Sartono, 2004 ).
Pola bilangan genap adalah : 2 ,4 ,6 ,8 ,...
Gambar pola bilangan genap :

Rumus Pola bilangan genap
2 ,4 ,6 ,8 ,....,n  maka rumus pola bilangan genap ke n adalah : U_n  = 2n
Contoh :
2 ,4 ,6 ,8 ,...ke 10 .berapakah pola bilangan genap ke 10 ?
jawab :
U_n   = 2n
U_10  = 2 x 10
        = 20
Pola bilangan Persegi
Pola bilangan persegi , yaitu suatu barisan bilangan yang membentuk suatu pola persegi ( Suwah dkk, 2008 ).
Pola bilangan persegi adalah 1 ,4 ,9 ,16 ,25 , ...
Gambar Pola bilangan persegi :

Rumus Pola bilangan persegi
1 ,4 ,9 ,16 ,25 ,36 ,...,n  maka rumus untuk mencari pola bilangan persegi ke n adalah :
U_n =  n2
Contoh :
Dari suatu barisan bilangan 1 ,2 ,9 ,16 ,25 ,36 ,...,ke 10 . Berapakah pola bilangan ke 10 dalam pola bilangan persegi ?
Jawab :
U_n = n2
U_10 = 102     = 100

4. Pola Bilangan Persegi Panjang 
Pola bilangan persegi panjang yaitu suatu barisan bilangan yang membentuk pola persegi panjang ( Sartono, 2004 ).
Pola persegi panjang adalah 2 ,6 ,12 ,20 ,30 ,...
Gambar Pola Bilangan persegi panjang :

Rumus pola bilangan persegi panjang
2 ,6 ,12 ,20 ,30 ,... n  , maka Rumus Pola bilangan Persegi panjang ke n adalah :
U_n = n . n + 1
Contoh :
Dari suatu barisan bilangan 2 ,6 ,12 ,20 ,30 ,...,ke 10 . Berapakah pola bilangan persegi ke 10 ?
Jawab :
U_n   = n .n+ 1
U_10  = 10 .10 + 1
       = 10 .11
       = 110
5. Pola Bilangan Segitiga
Pola bilangan segitiga yaitu suatu barisan bilangan yang membentuk sebuah pola bilangan segitiga ( Wilson, 2007 ).
Pola bilangan segitiga adalah : 1 ,3 ,6 ,10 ,15 ,...
Gambar Pola bilangan segitiga :

Rumus Pola Bilangan Segitiga :
1 ,3 ,6 ,10 ,15 ,21 ,28 ,36 ,...,ke n . Maka rumus pola bilangan segitiga ke n adalah:   U_n = (1 )/2 n ( n + 1 )
Contoh Soal :
Dari suatu barisan bilangan 1 ,3 ,6 ,10 ,15 ,21 ,28 ,36 ,...,ke 10 . Berapakah pola bilangan segitiga ke 10 ?
Jawab :
U_n   = (1 )/2 n ( n + 1 )
U_10=  (1 )/2  .10 ( 10 + 1 )
            = 5 ( 11 )  = 55
 
Barisan Bilangan
Barisan bilangan adalah susunan bilangan – bilangan yang memiliki aturan tertentu dan di pisahkan dengan koma ( Suwah dkk, 2008 ).
Contoh soal :
3,5,7,9,11,....  → Barisan bilangan loncat 2
11,8,5,2,-1,...  → Barisan bilangan loncat -3
Tentukan tiga suku pertama pada barisan yang suku umumnya di rumuskan dengan U_n=2n+9 !
Jawab :       U_n=2n+9
U_1=2.1+9=11
U_2=2.2+9=13
U_3=2.3+9=15
Bentuk umum :

Deret Bilangan
Jumlah suku-suku dari suatu barisan di sebut deret ( Wilson, 2007 ). Bentuk umumnya adalah sebagai berikut :


Contoh :
Deret bilangan genap : 2 + 4 + 6 + 8 + ....
Deret bilangan persegi panjang : 2 + 6 + 12 + 20 +....
Deret bilangan kubik : 1^3+2^3+3^3+4^3+....

Barisan Aritmatika dan Deret Aritmatika
Barisan Aritmatika
Perhatikan penggaris ukuran 30 cm. Pada penggaris tersebut terdapat bilangan berurutan 0,1,2,3,4,...,30. Setiap bilangan berurutan pada penggaris ini mempunyai jarak yang sama yaitu 1 cm. Jarak antar bilangan berurutan menunjukan selisih antar bilangan. Bilangan – bilangan berurutan seperti pada penggaris memiliki selisih yang sama untuk setiap dua suku berurutannya sehingga membentuk suatu barisan bilangan. Barisan bilangan seperti ini di sebut barisan aritmatika dengan selisih setiap dua suku berurutannya yang disebut beda ( Ngapiningsih, 2007 ).
Bentuk umum :


Pada barisan aritmatika berlaku :
Sehingga

Contoh :
Tentukan beda dari suku-suku di bawah ini :
4,7,10,13,...
-10,-6,-2,2,....
Jawab :
Beda = 7 – 4 = 3
Beda = -6 – (-10) = 4
Rumus Suku ke-n Barisan Aritmatika
Suku ke-n Barisan Aritmatika adalah :
Keterangan :
U_n = Suku ke – n
a    = Suku pertama
b = Beda
n = Banyaknya suku
Contoh : Tentukan suku pertama, beda, dan suku ke-10 dari barisan 4, 7, 10, 13, ... ?
Jawab : a = 4
b = 7 – 4 = 3
U_n= a+(n-1)b
U_10= 4+(10-1)3
U_10= 31
Suku Tengah Barisan Aritmatika ( Uk )
Barisan U_1  ,U_2  ,U_3  ,… ,U_n untuk n ganjil
Maka dapat di rumuskan sebagai berikut :
Contoh :
Di ketahui barisan aritmatika 3,9,15,21,....,117. Tentukan suku tengahnya ?
Jawab : U_k=  (U_n+a)/2
. U_k=  (117 +3)/2 = 60
Sisipan pada Barisan Aritmatika
Jika di antara 2 bilangan a dan Un di sisipkan bilangan a, ..., ..., ..., Un

         k bilangan
Maka setelah di sisipi k bilangan, banyaknya suku pada barisan ada ( k + 2 ) = n
Pada barisan baru berlaku : U_n= a+(n-1)b
Un = a + ( k + 2 – 1 )b
Un = a + ( k + 1 )b
Contoh :
Di antara bilangan 6 dan 24 di sisipkan 8 bilangan sehingga membentuk barisan aritmatika. Tentukan bedanya ?
Jawab : a = 6
Un = 24
k = 8
b = (Un - a)/(k+1) = (24 - 6)/(8+1)=  18/9=2
Deret Aritmatika
Deret Aritmatika adalah bentuk penjumlahaan barisan aritmatika. Jika U1, U2, U3, …,Un  adalah barisan aitmatika, maka U1 + U2 + U3 + …,Un merupakan deret aritmatika. Jumlah n suku pertama disimbolkan dengan Sn. ( Suwah dkk, 2008 ).
Sn =  U1 + U2 + U3 + …,Un
Rumus jumlah n suku pertama adalah :


Contoh :
Di ketahui deret aritmatika 4 + 8 + 12 + 16 + ...
Hitung jumlah 25 suku pertama ?
Jawab : Sn = 1/2  n [( 2a+( n-1 )b]
S25 = 1/2  25 [( 24+( 25-1 )4]
S25 = 1300
 
Barisan Geometri Dan Deret Geometri
Barisan Geometri
Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1, U2, U3, U4, …, Un-1, Un
Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan geometri, jika nilai perbandingan untuk setiap suku ke – n ( Un ) dengan suku sebelumnya ( Un-1) adalah tetap. Nilai perbandingan itu disebut rasio ( Sartono, 2004 ).  ( r ), ditulis : r = U_n/U_(n-1)
Dimana  r ≠ 0 atau r ≠ 1, Misalkan suku pertama sama dengan a, rasio sama dengan r, maka : U1,          U2,           U3,       ...,       Un

  a,        ar,         ar2 , …     ,arn – 1 
 Dengan demikian, rumus suku ke – n barisan geometri adalah :
Rumus Suku Tengah Barisan Geometri
Suatu barisan geometri dengan n suku, n bilangan ganjil, maka suku tengah ( Uk ) dinyatakan sebagai berikut :
Contoh : Di ketahui Barisan Geometri 2, 8, 32, ..., 8192. Tentukan suku tengahnya?
Jawab :    a = 2
Un = 8192
  Uk = √(U_1×U_n )
  Uk = √(2×8192)=128
Sisipan pada Barisan Geometri
Pada barisan geometri a, ..., ..., ..., Un, disisipkan k suku.

         K suku
Pada barisan geometri baru banyaknya suku adalah ( k + 2 )
Jadi, Un = arn-1 → Un = ar(k+2-1)
→  Un = ark+1
→      r = √(x+1&U_n/a)
Di antara bilangan 1/4 dan 64 disisipkan 7 bilangan, sehingga menjadi barisan geometri.Tentukan rasio?
Jawab : r = √(x+1&U_n/a)
r = √(7+1&64/(1/4))
r = √(8&64 ×4)
r = √(8&256) = 2
Deret Geometri
Deret geometri adalah bentuk penjumlahan suku – suku barisan geometri. Jika U1, U2, U3, U4, …, Un-1, Un  adalah barisan geometri, maka U1 + U2 + U3 + …,Un merupakan  deret geometri. Jumlah n suku pertama disimbolkan dengan (Sn) ( Ngapiningsih, 2007 ).
Sn =  U1 + U2 + …, Un-1 + Un
Rumus jumlah n suku pertama adalah :
   
Contoh :
Tentukan jumlah deret geometri berikut : 2 + (-10) + 50 + ... + (-6250)?
Jawab :



Deret Geometri Tak Hingga
Jika suatu deret geometri, Sn =  U1 + U2 + …, Un-1 + Un  dengan n mendekati takhingga, maka deret geometri tersebut dikatakan sebagai deret geometri tak hingga dan di tulis  dengan : S∞ =  U1 + U2 + …, Un-1 + …
Jika 
Jika 
Sehingga, rumus jumlah deret geometri tak hingga untuk 
           
                 
 
DAFTAR PUSTAKA

Ngapiningsih. 2007. Matematika Realistik Kelas IX untuk SMP dan MTs. Klaten: Intan Pariwira

Wilson Simangunsong. 2007. Matematika untuk SMP kelas IX. Jakarta : Erlangga

Sartono Wirodikromo. 2004. Matematika SMA kelas XII IPA. Jakarta: Erlangga

Suwah Sembiring. Cucun Cunayah. Ahmad Zaelani.2008. Pelajaran Matematika

By: blog basori alawi On March 12, 2018

Continue Reading